Случайные процессы
Семейство случайных величин, индексированное временем, и различие закона и траектории.
Перед чтением
Что вы разберёте в этой статье
Семейство случайных величин, индексированное временем, и различие закона и траектории.
Случайный процесс — это случайная величина, меняющаяся со временем или номером шага. Нас интересуют не только отдельные значения, но и зависимость между разными моментами.
- Случайные процессы
- random-vectors
- independent-variables
Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.
После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.
Раздел: Случайные процессы · университетский уровень
Случайность во времени
Одно измерение задаёт случайную величину, несколько — случайный вектор. Процесс описывает целое семейство наблюдений, индексированных временем или другим параметром. Индекс может быть дискретным, например номер шага, или непрерывным. Пространство состояний тоже может быть дискретным или непрерывным — это отдельный выбор.
Закон и реализация
Если зафиксировать время t, получим случайную величину Xt. Если зафиксировать исход ω, получим траекторию t↦Xt(ω). Один нарисованный путь — лишь одна реализация; он не определяет вероятности остальных путей. Конечномерные распределения задают совместные законы в любых конечных наборах времён.
Зависимость между временами
Даже одинаковые одномерные распределения во все моменты не задают весь процесс. Последовательность независимых честных битов и постоянный процесс Xt=Z с одной честной Бернулли имеют одинаковые маргинальные законы, но совершенно разные траектории. Ковариационная функция описывает часть временной зависимости, если моменты существуют.
Стационарность и приращения
Строгая стационарность означает неизменность всех конечномерных законов при общем сдвиге времени. Слабая стационарность требует постоянного среднего и ковариации, зависящей только от разности времён. Без вторых моментов такое определение не применяется. Стационарные приращения не означают стационарность самого процесса: у пуассоновского счётчика среднее растёт со временем.
Для непрерывного времени дополнительно изучают регулярность траекторий и измеримость по паре (t,ω). Здесь рассматриваются конкретные модели с явно заданными путями; полный курс теории процессов значительно шире.
Три примера
- Сумма Sn независимых шагов ±1 — случайное блуждание. Время дискретно, состояния целочисленные.
- Счётчик N(t) пуассоновских событий имеет непрерывное время, но целочисленные состояния и ступенчатые траектории.
- У процесса Xt=Z с Var(Z)=4 ковариация любых двух времён равна 4: прошлое полностью определяет будущее.
Формула, смысл и ограничения
Главные формулы с расшифровкой
Формула словами: Все Xt заданы на одном пространстве; ковариационная функция требует конечных вторых моментов.
Как применять: Укажите состояние, время, правило перехода и начальное условие; затем отделите один шаг от поведения длинной траектории.
От формулы к наблюдению
Попробуйте самостоятельно
Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.
От простого к сложному
Проверьте себя
Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.
Процесс Xt=Z для всех t, Var(Z)=9. Найдите Cov(X1,X2).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Sn — сумма n независимых шагов ±1 с вероятностями 1/2. Найдите E S10.
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Для того же блуждания найдите Cov(S3,S8).
Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.
Источники и соглашения
Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.