Библиотека распределений · Теория и эксперимент

Гипергеометрическое распределение

Подсчёт целевых объектов в выборке без возвращения, границы носителя и поправка конечной совокупности.

Параметры модели

Гипергеометрическое

Дискретное

K ≤ N, n ≤ N. Все наборы из n различных объектов равновероятны; возвращения нет.

P(X=k)=\frac{\binom Kk\binom{N-K}{n-k}}{\binom Nn}

Пределы полей — вычислительные ограничения исследователя, а не область существования математического закона. Носитель: целые значения в [0; 5].

Форма распределения

Высота столбика — вероятность ровно одного целого значения. Сумма всех вероятностей на полном носителе равна 1.

За пределами окна: слева 0 %, справа 0,135449 %. Ось ограничена окном, но CDF, интервалы и генератор используют весь носитель. По умолчанию окно берётся по квантилям 0,005 и 0,995; для конечного непрерывного носителя — весь носитель. Дискретный график ограничен 200 значениями.

Числовая таблица графика (5 точек)

x	P(X=x)
0	0,083011
1	0,32282
2	0,387384
3	0,176084
4	0,029347

Точка и интервал

Точка xИнтервал: левая границаИнтервал: правая граница

P(X = 2): 38,73839 %
P(X ≤ 2): 79,321465 %
P(X > 2): 20,678535 %
P(0 ≤ X ≤ 4): 99,864551 %

Границы интервала включены. Для дискретного закона учитываются только целые точки внутри него; для непрерывного включение концов не меняет вероятность.

Что предсказывает модель

Математическое ожидание E(X): 1,75
Дисперсия D(X): 0,898026

Ожидание — характеристика распределения, а не обещанный результат одного опыта. Конечная выборка имеет своё среднее даже тогда, когда теоретическое среднее не существует.

CDF и правый хвост вычисляются отдельно, чтобы сохранять малые вероятности. Значения ниже предела чисел двойной точности могут округляться до 0; квантили у границ также ограничены машинной точностью.

От модели к данным

Сгенерировать выборку

До 100 000 наблюдений

Независимые псевдослучайные наблюдения в отдельном рабочем потоке. Один seed и те же параметры воспроизводят тот же ряд. Это учебный, не криптографический генератор.

Размер выборкиSeed · начальное состояние

Выборка ещё не создана.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Подсчёт целевых объектов в выборке без возвращения, границы носителя и поправка конечной совокупности.

Простыми словами

Распределение — полный закон случайной величины: какие значения она принимает и с какими вероятностями. Параметры распределения имеют конкретный смысл и не являются произвольными буквами.

Основные понятия

гипергеометрическое
без возвращения
урна
сочетания

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Распределения · университетский уровень

Выбор без возвращения меняет шансы

В совокупности N объектов, из них K помечены как целевые. Равномерно выбирают n различных объектов без возвращения и считают число целевых X. Например, отбирают несколько изделий из партии или вытягивают карты из хорошо перемешанной колоды.

Параметры N, K, n — целые, $N\ge1$ , $0\le K\le N$ , $0\le n\le N$ . В обозначениях официальной документации R число белых равно K, число чёрных N − K, а размер выборки n: совпадение букв в разных источниках не гарантирует совпадения смысла.

Подсчёт через наборы

Всего наборов размера n имеется $\binom Nn$ . Для ровно k целевых выбираем их из K, а оставшиеся n − k объектов — из N − K нецелевых. Число подходящих наборов равно произведению двух сочетаний. Деление на число всех наборов даёт вероятность.

Нижняя граница X не всегда ноль. Если извлекаем больше, чем имеется нецелевых, часть целевых попадёт в выборку обязательно. Верхняя граница ограничена и числом извлечений, и запасом целевых.

Ожидание и зависимость

Каждая позиция случайной выборки имеет маргинальный шанс K/N оказаться целевой, поэтому среднее число целевых равно nK/N. Но после успеха целевых остаётся меньше: индикаторы позиций зависимы. Дисперсия биномиальной модели с p = K/N умножается на поправку $(N-n)/(N-1)$ .

Когда n = N, мы осматриваем всю совокупность и X = K точно: разброс нулевой. При N = 1 формула поправки имеет нулевой знаменатель, поэтому используем прямой факт постоянства X, а не подставляем 0/0.

Три примера

Два шара из пяти. В урне 3 белых и 2 чёрных шара. Для ровно двух белых в двух извлечениях вероятность C(3,2)C(2,0)/C(5,2) = 3/10. То же значение получается последовательно: (3/5)(2/4) = 3/10.
Хотя бы один белый. В той же урне и выборке исключаем два чёрных. Вероятность P(X = 0) = C(3,0)C(2,2)/C(5,2) = 1/10. Следовательно, P(X ≥ 1) = 9/10. Если ошибочно вернуть первый шар, получится другая модель и ответ 1 − (2/5)² = 21/25.
Большая доля совокупности. Из N = 10 объектов, K = 4 целевых, выбирают n = 8. Целевых не меньше 8 − 6 = 2 и не больше 4. Среднее равно 3,2, дисперсия 8 · 0,4 · 0,6 · 2/9 = 32/75 ≈ 0,426667. Биномиальная модель дала бы 1,92 и существенно завысила бы разброс.

Что именно считается случайным

Наборы должны быть равновероятными. Если тяжёлые шары легче достать или отбор специально предпочитает целевые изделия, формула сочетаний уже не описывает механизм. Необходимо также фиксировать N и K до отбора; оценённое по данным K не становится точным параметром автоматически.

В исследователе попробуйте n = 0, n = N и K = 0: все три настройки дают постоянный результат, но разные значения постоянной. Затем сравните небольшую и большую долю отбора. Все вероятности считаются по полному допустимому носителю; ограничение окна графика не меняет численный ответ.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(X=k)=\frac{\binom Kk\binom{N-K}{n-k}}{\binom Nn}

Формула словами: N объектов, K целевых, выборка n без возвращения.

Как применять: Определите тип случайной величины, смысл параметров и область допустимых значений перед вычислением вероятности.

\max(0,n-N+K)\le k\le\min(n,K)

Формула словами: Точные целые границы носителя.

\mathbb E X=n\frac KN,\quad D(X)=n\frac KN\left(1-\frac KN\right)\frac{N-n}{N-1}

Формула словами: Для N > 1; при N = 1 допустимые модели постоянны и дисперсия 0.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Урна с шарами Комбинаторика

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

В урне 4 шара, 1 белый. Достают один шар без возвращения. Найдите вероятность белого.

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

Из 3 белых и 2 чёрных шаров берут 2 без возвращения. Найдите P(X = 1).

Сложный

N = 10, K = 4, n = 8. Найдите наименьшее возможное число целевых в выборке.

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.

R stats: Hypergeometric Distribution (откроется в новой вкладке)