Достоверные, невозможные и случайные события

Сравнение с полным пространством

Достоверное событие происходит при любом допустимом исходе: оно совпадает с $\Omega$. Невозможное не происходит ни при каком исходе и задаётся пустым множеством. Остальные события в начальной конечной модели называют случайными: они выполняются для одних исходов и не выполняются для других.

Для кубика с числами $1$–$6$ событие «выпало число меньше семи» достоверно, «выпала восьмёрка» невозможно, «выпало чётное» случайно. Классификация зависит от модели: у восьмигранного кубика восьмёрка уже возможна.

Вероятность и логическая возможность

У достоверного события вероятность $1$, у невозможного — $0$. Обратные выводы требуют осторожности. В конечной модели, где каждый исход имеет положительную вероятность, нулевая вероятность означает пустое событие. В бесконечных моделях это уже не так.

При равномерном выборе точки из $[0,1]$ конкретная точка $1/2$ имеет вероятность ноль, хотя она входит в пространство. Событие «точка не равна $1/2$» имеет вероятность один, но не совпадает со всем пространством. Поэтому «почти наверное» и «для каждого исхода» — разные утверждения.

В некоторых школьных формулировках словом «случайное» называют именно событие с вероятностью строго между нулём и единицей. Здесь при употреблении этого слова уточняется модель; формальные свойства надёжнее выражать через множество и вероятность отдельно.

Ошибки интерпретации

«Очень маловероятно» не значит невозможно. Вероятность $10^{-6}$ положительна. И наоборот, отсутствие события в наблюдавшейся серии не делает его невозможным: выборка могла просто не содержать редкого исхода.

Три примера

1. При выборе дня из семидневной недели событие «выбран один из семи дней недели» достоверно.
2. У честного кубика «выпало $0$» невозможно, а «выпало $6$» имеет вероятность $1/6$ и остаётся возможным после любого числа неудачных попыток.
3. Для равномерного $X$ на $[0,1]$ событие $X=1/2$ непусто, но имеет вероятность $0$. Это не противоречит нормировке: вероятности отдельных точек здесь нельзя сложить конечной суммой.