Геометрическая вероятность

Равномерная точка вместо конечного списка

Если точка выбирается равномерно из ограниченной области, вероятность попадания в часть области равна отношению их геометрических мер. Для отрезка сравнивают длины, для плоской области — площади, для тела — объёмы.

Слово «равномерно» означает, что равные по мере части имеют одинаковую вероятность. Само наличие рисунка не обосновывает равномерность. Если точки концентрируются у центра, отношение площадей уже не описывает шансы.

Области должны быть измеримыми, а мера всего пространства — положительной и конечной. Обычное равномерное распределение на всей прямой невозможно: нельзя назначить всем равным отрезкам одинаковую положительную вероятность и сохранить сумму один.

Границы и размерность

У равномерной точки на отрезке отдельная точка имеет нулевую вероятность. У равномерной точки в квадрате линия тоже имеет нулевую площадь. Но если точку выбирают на самой линии, сравнивают уже длины: пространство опыта изменилось.

Площадь благоприятной части считают внутри всей области выбора. Если круг выходит за края квадрата, для вероятности попадания из квадрата в круг нужна площадь пересечения, а не всего круга.

Три примера

1. Точка равномерно выбирается на $[0,10]$. Вероятность оказаться на $[2,5]$ равна $(5-2)/10=3/10$.
2. В квадрате со стороной $4$ равномерно выбирают точку. Для центрального квадрата со стороной $2$ вероятность $2^2/4^2=1/4$.
3. Точка равномерна в круге радиуса $R$. Вероятность расстояния от центра не больше $R/2$ равна $\pi(R/2)^2/(\pi R^2)=1/4$, а не $1/2$. Радиус и площадь растут по-разному.

Для моделирования равномерной точки в круге нельзя просто брать радиус равномерно: это создаёт лишнюю концентрацию у центра. Правильная радиальная функция распределения $P(r\le t)=t^2/R^2$ приводит к выбору радиуса $R\sqrt U$ при равномерном $U$ на $[0,1]$. Этот нюанс связывает геометрическую модель с преобразованием случайных величин.