Независимые испытания

Смысл независимости

Испытания независимы, если информация о результатах части опытов не меняет вероятностную модель результатов остальных. Для событий, определяемых разными испытаниями, вероятность совместного наступления равна произведению вероятностей. Независимость — предположение о модели, а не следствие того, что опыты проводились в разные моменты.

Вероятности успеха могут различаться. Два независимых выстрела с вероятностями попадания 0.7 и 0.9 — независимые испытания, но не схема Бернулли с единым параметром. В серии Бернулли дополнительно требуют одинаковую вероятность успеха и два учитываемых исхода в каждом испытании.

Проверка предпосылки

Честная монета не «помнит» прошлые броски в стандартной модели. Выбор шаров с возвращением после тщательного перемешивания также моделируют независимыми одинаковыми опытами. Без возвращения состав урны меняется. Общая скрытая причина, например качество партии, может связать результаты даже у физически разных предметов.

Три примера

1. Два независимых устройства включаются с вероятностями 0.8 и 0.9. Вероятность включения обоих равна $0.8\cdot0.9=0.72$. Одинаковость вероятностей не нужна.
2. После пяти орлов подряд вероятность орла в следующем независимом броске честной монеты остаётся $1/2$. «Компенсации» прошлой серии нет.
3. Из урны с двумя красными и одним синим шаром дважды выбирают с возвращением. Вероятность двух красных $(2/3)^2=4/9$. Без возвращения она была бы $(2/3)(1/2)=1/3$.

Тонкая ошибка

Для трёх событий попарной независимости недостаточно. В двух бросках честной монеты события «первый орёл», «второй орёл» и «результаты одинаковы» попарно независимы, но их общее пересечение имеет вероятность $1/4$, а произведение вероятностей равно $1/8$. Для умножения целой цепочки нужна совместная независимость.