Выбор с возвращением и без

Две разные модели

При выборе с возвращением предмет кладут обратно до следующего выбора и заново перемешивают. Состав совокупности остаётся тем же; при равномерном независимом механизме вероятность каждого типа постоянна. Без возвращения выбранный предмет больше недоступен. Тогда условные вероятности следующих результатов зависят от предыдущих.

Важно различать тип и конкретный предмет. Два одинаково окрашенных шара остаются разными физическими шарами, когда мы считаем равновозможные выборки. Если $R$ из $N$ шаров красные, вероятность первого красного равна $R/N$ в обеих моделях. Различие появляется в совместных событиях.

Порядок или набор

Для последовательного выбора без возвращения удобно дерево условных вероятностей. Для неупорядоченной выборки из $n$ предметов удобно число сочетаний: всего $\binom Nn$ наборов. Чтобы получить $k$ красных, выбирают $k$ из $R$ красных и $n-k$ из остальных. Требуются $0\le n\le N$ и физически возможные количества.

Три примера

1. В урне 3 красных и 2 синих шара. При двух выборах с возвращением вероятность двух красных $(3/5)^2=9/25$.
2. Из той же урны без возвращения: $(3/5)(2/4)=3/10$. После первого красного красных осталось два.
3. Вероятность одного красного и одного синего без возвращения равна $\binom31\binom21/\binom52=6/10=3/5$. Через порядки получается $(3/5)(2/4)+(2/5)(3/4)$.

Частые ошибки

Фраза «случайно выбрали» ещё не гарантирует равномерность. Без возвращения сами позиции могут иметь одинаковую безусловную вероятность красного, но это не делает их независимыми. При малой доле выборки иногда используют приближение моделью с возвращением; это приближение с погрешностью, а не точное равенство.