Углублённый6 минут3 задачи с решениями

Операции со случайными величинами

Как получить закон преобразованной величины и почему для суммы важна зависимость.

Перед чтением

Что вы разберёте в этой статье

Как получить закон преобразованной величины и почему для суммы важна зависимость.

Простыми словами

Случайная величина ставит каждому исходу в соответствие число. Её распределение показывает не только возможные значения, но и вероятность каждого из них.

Основные понятия

преобразование
сумма величин
зависимость

Как читать формулы

Под каждой формулой дана расшифровка величин и условий. Сначала определите, что известно, затем проверьте ограничения и только после этого подставляйте числа.

Как закрепить

После теории решите три задачи: простую, среднюю и сложную. Подсказка, шаги решения и ответ открываются отдельно.

Раздел: Случайные величины · школьная привязка: 11 класс

Новая величина из старой

Если $X$ — случайная величина, то подходящая числовая функция $g(X)$ тоже задаёт величину. Умножение, сдвиг, квадрат, максимум и сумма встречаются в прикладных задачах постоянно. Но распределение нужно преобразовывать, а не просто подставлять выражение в вероятности.

Для дискретного $X$ перечисляют значения $g(x)$ и объединяют одинаковые результаты. Если преобразование не взаимно однозначно, одно новое значение может иметь несколько прообразов. Вероятности этих несовместных исходных значений складываются.

Сумма требует совместной модели

Знания законов $X$ и $Y$ недостаточно для закона $X+Y$ . Нужно знать, какие пары значений возникают совместно. При независимости совместная вероятность равна произведению масс, поэтому сумму находят свёрткой. Если $Y=X$ , независимости обычно нет: сумма равна $2X$ , что даёт другой закон.

Три примера

$X$ принимает $-2$ и 2 с вероятностями 0.3 и 0.7. Тогда $X^2=4$ с вероятностью 1: обе массы объединяются.
$X$ принимает 0 и 1 с вероятностями 0.6 и 0.4. Величина $Y=3X+2$ принимает 2 и 5 с теми же вероятностями.
Независимые индикаторы $X,Y$ честных монет дают сумму 0, 1, 2 с вероятностями $1/4,1/2,1/4$ . Если же $Y=X$ , сумма принимает только 0 и 2 с вероятностями по $1/2$ .

Проверки и ограничения

Преобразованный закон снова должен иметь неотрицательные вероятности с суммой 1. Для дроби $X/Y$ нужно проверить, что знаменатель не равен нулю с положительной вероятностью, либо специально определить поведение там. В общем случае $E[g(X)]$ не равно $g(E[X])$ : квадрат среднего не заменяет среднего квадрата.

Формула, смысл и ограничения

Главные формулы с расшифровкой

P(g(X)=y)=\sum_{x:\,g(x)=y}P(X=x)

Формула словами: В дискретном случае массы всех прообразов складываются.

Как применять: Перечислите значения величины, назначьте им вероятности и проверьте, что сумма вероятностей равна единице.

P(X+Y=z)=\sum_xP(X=x,Y=z-x)

Формула словами: Закон суммы определяется совместным распределением, а не только отдельными законами.

От формулы к наблюдению

Попробуйте самостоятельно

Измените параметры и сопоставьте расчёт с результатами случайного эксперимента.

Лаборатория: Игральный кубик

От простого к сложному

Проверьте себя

Сначала запишите решение самостоятельно. Затем можно открыть намёк, сравнить каждый переход с пошаговым разбором и только после этого посмотреть ответ. Прогресс сохраняется в этом браузере.

Простой

X принимает −1 и 1 с вероятностями 0.2 и 0.8. Найдите P(X²=1).

Принимаются равные дроби и десятичная запись. Бесконечные дроби округляйте минимум до 6 знаков. Для процентов следуйте условию.

Средний

X принимает 0, 1, 2 с вероятностями 0.2, 0.5, 0.3. Найдите P(2X+1>3).

Сложный

Независимые X и Y принимают 0 и 1; P(X=1)=0.3, P(Y=1)=0.8. Найдите P(X+Y=1).

Источники и соглашения

Объяснения и задачи — авторские. Источники помогают проверить определения, условия и школьную привязку. Обозначения и параметризация указаны в статье.