Случайность и вероятностная модель

Неизвестный результат, известные правила

Случайность в учебной модели означает, что конкретный результат опыта заранее не указан, но множество возможных результатов и правила присвоения вероятностей определены. Это позволяет рассуждать о шансах, не предсказывая каждое испытание.

Вероятностная модель включает пространство исходов, события и вероятность. Для конечного набора можно задать вес каждому исходу: веса неотрицательны и в сумме дают единицу. Событие получает суммарный вес входящих в него исходов. В более общей модели вводится семейство измеримых событий.

Слово «случайный» не равнозначно словам «равномерный», «независимый» или «хаотичный». Монета с вероятностью орла $0{,}8$ всё ещё случайна; два результата могут зависеть друг от друга; случайная последовательность может содержать длинные повторы.

Что модель предполагает

Для честной монеты обычно исключают ребро и задают двум сторонам вероятность $1/2$. Это идеализация. Если реальная монета часто встаёт на ребро, два исхода уже не описывают опыт полностью. Если условия меняются, одно постоянное значение $p$ может быть недостаточным.

Модель оценивают по смыслу условий и данным. Совпадение одной короткой серии с ожидаемым результатом не доказывает её точности, а небольшое расхождение не опровергает автоматически. Кроме случайного разброса возможны систематическая ошибка измерения и неверный выбор наблюдений.

Типичная ошибка

Нельзя выводить равенство шансов из числа слов в описании. «Автобус пришёл» и «не пришёл» — два события, но их вероятности зависят от времени ожидания и расписания. Уточнение опыта является частью решения.

Три примера

1. Для несимметричной монеты $P(\text{орёл})=0{,}7$, поэтому $P(\text{решка})=0{,}3$. Два исхода не означают два равных шанса.
2. В мешке одна белая и девять чёрных одинаковых на ощупь фишек. При равномерном выборе белая имеет вероятность $1/10$, несмотря на два названия цвета.
3. Если два экрана показывают один и тот же бросок, события «на первом орёл» и «на втором орёл» совпадают. При честной монете вероятность двух орлов $1/2$, а не $1/4$: независимость здесь отсутствует.