Первый успех

Сначала неудачи, затем успех

В опытах до первого успеха случайно не число успехов, а длительность ожидания. Обозначим $T$ номер испытания, на котором успех появился впервые. Событие $T=k$ требует ровно определённой последовательности: $k-1$ неудач, затем успех. Поэтому множитель числа сочетаний не нужен.

При независимых испытаниях с неизменной вероятностью $p$ получаем $P(T=k)=(1-p)^{k-1}p$. Это геометрическая модель с нумерацией от единицы. В другой распространённой договорённости считают число неудач до успеха: тогда величина равна $T-1$ и начинается с нуля. Договорённость всегда нужно указывать.

Хвост и отсутствие памяти

Событие $T>n$ означает отсутствие успеха в первых $n$ опытах. Его вероятность $(1-p)^n$. При $0<p<1$ после любой серии неудач вероятность успеха в следующем испытании всё ещё $p$. Условная вероятность ждать ещё более $m$ испытаний равна $(1-p)^m$: прошлые неудачи не «накапливают удачу».

Три примера

1. При бросках честной монеты первый орёл на третьем броске — последовательность решка, решка, орёл. Вероятность $(1/2)^3=1/8$.
2. При $p=0.2$ первый успех на четвёртом испытании имеет вероятность $0.8^3\cdot0.2=0.1024$.
3. При $p=0.3$ успех появится не позднее второго испытания с вероятностью $1-0.7^2=0.51$. Это событие $T\le2$, а не $T=2$.

Ограничения

Если вероятность меняется после каждой попытки, степенная формула неверна, хотя последовательность по-прежнему можно перемножить через условные вероятности. При $p=0$ успех не наступает; при $p>0$ он наступает с вероятностью 1 в бесконечной идеализированной серии, но это не ограничивает заранее число попыток конечной константой.